thử

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-3{{m}^{2}}-1$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+4{{x}_{2}}=0$.
Lời giải
Ta có $y'=-3{{x}^{2}}+6x+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)$.
Để hàm số có hai điểm cực trị thì $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Rightarrow \Delta ' > 0\Leftrightarrow {{3}^{2}}+3.3\left( {{m}^{2}}-1 \right) > 0$
$\Leftrightarrow 9{{m}^{2}} > 0$
$\Leftrightarrow m\ne 0$. (*)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\left\{ \begin{align}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=1-{{m}^{2}} \\
\end{align} \right.$ kết hợp điều kiện đề bài ta được hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{l}{x_{1}+x_{2}=2} \\ {x_{1} x_{2}=1-m^{2} \Leftrightarrow} \\ {x_{1}+4 x_{2}=0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x_{1}=\frac{8}{3}} \\ {x_{2}=-\frac{2}{3}} \\ {1-m^{2}=-\frac{16}{9}}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x_{1}=\frac{8}{3}} \\ {x_{2}=-\frac{2}{3} \Leftrightarrow m=\pm \frac{5}{3}} \\ {m^{2}=\frac{25}{9}}\end{array}\right.\right.\right.$ thỏa mãn (*)
Vậy $m=\pm \dfrac{5}{3}$.
Câu 2. (4.0 điểm)
2.1 Cho $a={{\log }_{5}}6$ và $b={{\log }_{6}}12$. Tính ${{\log }_{3}}60$ theo $a$ và $b$.
2.2 Giải phương trình $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}$.
Lời giải
Tác giả:Phạm Hải Dương; Fb: DuongPham
2.1 Ta có
$\left\{ \begin{align}
& {{\log }_{5}}6=a \\
& {{\log }_{6}}12=b \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& {{\log }_{5}}6=a \\
& {{\log }_{6}}2=b-1 \\
& {{\log }_{5}}12=a.b \\
& {{\log }_{5}}2=a\left( b-1 \right) \\
\end{align} \right.$.
${{\log }_{3}}60$ $=\dfrac{{{\log }_{5}}60}{{{\log }_{5}}3}$ $=\dfrac{1+{{\log }_{5}}12}{{{\log }_{5}}6-{{\log }_{5}}2}$ $=\dfrac{1+ab}{a-a\left( b-1 \right)}$ $=\dfrac{1+ab}{a\left( 2-b \right)}$.
2.2 Điều kiện $-1\le x\le 1$.
Đặt $t=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$ $\Rightarrow \dfrac{{{t}^{2}}-2}{2}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}$, với $0\le t\le \sqrt{2}$.
Phương trình theo $t$ có dạng
$t=\dfrac{7+{{\left( \dfrac{{{t}^{2}}-2}{2} \right)}^{2}}}{4}$ $\Leftrightarrow {{\left( t-2 \right)}^{2}}\left( {{t}^{2}}+4t+8 \right)=0$ $\Leftrightarrow t=2$ (nhận).
Với $t=2$ ta được $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2$ $\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=1$ $\Leftrightarrow x=0$.
Vậy phương trình có nghiệm $x=0$.
Câu 3. (2,0 điểm)
Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật $ABCD$ được sơn trang trí như hình bên. Chi phí để sơn phần tô đậm là 250.000 đồng/${{\text{m}}^{2}}$ và phần còn lại là 160.000 đồng/${{\text{m}}^{2}}$. Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên là bao nhiêu?

Biết $AD=4\,\text{m}$, $CD=3\,\text{m}$ và $AE=EF=FB$.
Lời giải

Gọi $G$, $I$ lần lượt là trung điểm $AB$, $CD$.
Gọi $H$ là giao điểm của $EC$, $DF$ và $K$ là điểm thỏa $FK\bot DC$.
Xét tam giác vuông $DFK$ và $DHI$ có
$\,\tan HDI=\dfrac{HI}{DI}$ $=\dfrac{FK}{DK}$ $\Leftrightarrow \dfrac{HI}{1,5}=\dfrac{4}{2}$ $\Rightarrow HI=3$ $\Rightarrow GH=1$.
Ta có ${{S}_{ABCD}}=AD.AB=4.3=12\left( {{\text{m}}^{2}} \right)$
${{S}_{\Delta ADE}}={{S}_{\Delta BCF}}=\dfrac{1}{2}DA.AE=\dfrac{1}{2}.4.1=2\left( {{\text{m}}^{2}} \right)$
${{S}_{\Delta DHC}}=\dfrac{1}{2}HI.DC=\dfrac{1}{2}.3.3=4,5\left( {{\text{m}}^{2}} \right)$
${{S}_{\Delta EHF}}=\dfrac{1}{2}GH.EF=\dfrac{1}{2}.1.1=0,5\left( {{\text{m}}^{2}} \right)$
$\Rightarrow \text{2}{{S}_{\Delta EHD}}={{S}_{ABCD}}-\left( 2{{S}_{\Delta ADE}}+{{S}_{\Delta DHC}}+{{S}_{\Delta EHF}} \right)=3\left( {{\text{m}}^{2}} \right)$
Vậy số tiền để sơn biển quảng cáo là $T=3.250000+9.160000=2190000$ (đồng).